Idées générales dont les objets ne sont que possibles. — Nous les construisons. — Idées de l’arithmétique. — Notion de l’unité. — La propriété d’être une unité n’est que l’aptitude à entrer comme élément dans une collection. — Tous les faits ou individus présentent cette propriété. — Nous l’isolons au moyen d’un signe qui devient son représentant mental. — Inventions successives de diverses sortes de signes pour représenter les séries d’unités abstraites. — Première forme du calcul. — Les dix doigts. — Les petits cailloux. — Addition et soustraction au moyen des doigts et des cailloux. — Les noms de nombre, substituts des doigts et des cailloux. — Commodité, petit nombre et combinaisons simples de ces nouveaux substituts. — Derniers substituts, les chiffres. — Ils sont les plus abréviatifs de tous. — Nous formons ainsi des collections d’unités mentales sans songer à les adapter aux collections d’unités réelles. — Ultérieurement et à l’expérience, toute collection d’unités réelles se trouve adaptée à une collection d’unités mentales. — Exemples. — Nos nombres sont des cadres préalables. […] Idées de la mécanique. — Notions du repos, du mouvement, de la vitesse, de la force, de la masse. — Leur origine et leur formation. — Les lignes, les chiffres et les noms sont leurs symboles. — Diversité et nombre indéfini des composés construits avec ces éléments. — Aux plus simples de ces constructions mentales correspondent des constructions réelles. — Tendance des corps en repos ou doués d’un mouvement rectiligne uniforme à persévérer indéfiniment dans leur état. — À celles de ces constructions mentales qui sont moins simples correspondent encore certaines constructions réelles. — Hypothèse de la vitesse uniformément accrue ; cas des corps pesants qui tombent. — Mobile animé d’un mouvement rectiligne uniforme et d’un autre mouvement dont la vitesse est uniformément accrue ; cas des planètes. — Comment les cadres préalables doivent être construits pour avoir chance de convenir aux choses. — Trois conditions. — Leurs éléments doivent être calqués sur les éléments des choses. — Leurs éléments doivent être le plus généraux qu’il se pourra. — Leurs éléments doivent être combinés le plus simplement possible. […] Ce sont celles qui composent l’arithmétique, la géométrie, la mécanique et, en général, toutes les sciences qui, comme les mathématiques, traitent du possible et non du réel. […] Voilà pour les angles. — Avec des droites qui se coupent deux à deux, en formant certains angles, on construit tous les triangles, tous les quadrilatères, et, en général, tous les polygones. — Si l’on impose à une courbe l’obligation d’avoir tous ses points à égale distance d’un autre point intérieur, on a la circonférence. — « La surface plane, ou plan91, est engendrée par une droite perpendiculaire à une autre et tournant autour d’elle en passant toujours par un même de ses points. » Avec des plans terminés par certains polygones et formant certains angles par leur inclinaison l’un sur l’autre, on construit tous les polyèdres. — Avec la révolution du demi-cercle autour de son diamètre, du rectangle autour d’un de ses côtés, du triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit, nous fabriquons la sphère, le cylindre, le cône ; avec des sections du cône, l’ellipse, la parabole et l’hyperbole ; avec des combinaisons diverses des éléments primitifs et de ces premiers composés, toutes les espèces possibles de lignes, de surfaces et de solides, parfois si compliquées que l’imagination ne peut les exécuter et que, si la nature ou l’art en fournissent des exemples, l’œil même attentif ne parvient pas à en démêler exactement tous les traits. […] Il faut d’abord que les éléments mentaux avec lesquels ils sont fabriqués soient calqués exactement sur les éléments des choses réelles ; car alors les éléments de notre moule se retrouveront dans la nature. — Il faut ensuite qu’ils soient très généraux et, s’il se peut, universels ; car, plus ils sont généraux, plus le nombre d’individus ou cas où ils se retrouveront est considérable, et, s’ils sont universels, ils se retrouveront dans tous. — Il faut enfin que la combinaison que nous leur donnons soit aussi simple que possible ; car il y a plus de chance pour que nous la retrouvions dans la nature, puisqu’il suffit alors, pour la produire, d’un minimum d’éléments et de conditions.